Eventos Correlacionados y Probabilidades Condicionadas

Los eventos son correlacionados si el resultado de uno depende del resultado del otro. Así, además, la probabilidad de uno estará condicionada por la ocurrencia del otro.

Ejemplo: Si tenemos un recipiente con una bola roja (R) y dos bolas verdes (V), la probabilidad de obtener una bola verde en el primer intento es de 2/3, mientras que la de obtener una bola roja es de 1/3.  Ahora, la pregunta es ¿cuál sería la probabilidad de obtener una bola verde en el segundo intento? Imaginemos que en el primer intento cogimos una bola verde y no la devolvimos al recipiente, entonces, nos quedaremos con: 1R y 1V. Así, en un segundo intento, la probabilidad de obtener una bola verde será de (1/2). Así, este resultado es CONDICIONADO al resultado obtenido en el primer intento. 

• Probabilidad condicionada: p(B|A), es la probabilidad de ocurrencia del evento B luego que ha ocurrido el evento A. El evento A es la condición sobre la cual se evalúa la probabilidad del evento B. 

• Probabilidad conjunta: Es la probabilidad que los eventos A y B (o más eventos) ocurran. La probabilidad conjunta es expresada como p(A y B) o más precisamente p(AB). Un ejemplo, sería la probabilidad de que se obtenga cara al lanzar la primera vez una moneda al aire y cara al lanzar la moneda por segunda vez.

• Regla general de la multiplicación  (Regla de Bayes): Si resultados A y B ocurren con probabilidad p(A) y p(B), la probabilidad conjunta de los eventos A y B es:

        p(AB) = p(B|A)p(A) = p(A|B)pB

Si los eventos A y B son independientes, entonces la pre condición A no tiene influencia sobre el evento B , así p(B|A)=pB y la ecuación anterior queda reducida a p(AB)=pBpA, lo que es igual a la regla de la multiplicación pero para eventos independientes. La regla de la multiplicación es general ya que no es necesaria la independencia de los eventos. 

• Regla general de la adición: Esta regla nos permite encontrar la probabilidad ocurrencia del evento A o del evento B o de ambos. La regla general de la adición, consiste en tomar la probabilidad de A y sumarla a la probabilidad de B para luego sustraer el evento conjunto de A y B de este total, porque el evento conjunto ya se incluyó tanto en el cálculo de la probabilidad de A y en la probabilidad de B, es decir, p(A È B)= p(A) + p(B) - p(A Ç B).

• Grado de correlación: El grado de correlación, g, entre los eventos A y B pueden ser expresados como la razón de la probabilidad condicional de B, dado A, dividido por la probabilidad de B.

Si g=1, los eventos A y B son independientes y no se correlacionan entre sí. Si g mayor que 1 los eventos A y B son correlacionados positivamente. Si menor que 1, los eventos A y B son negativamente correlacionados. Entonces, si g=0 y A ocurre, B no ocurre.

• Regla para la adición de probabilidades conjuntas:  esta regla es útil para calcular la probabilidad de p(B) si se conoce la probabilidad conjunta o la probabilidad condicional:

donde A* significa que el evento A no ocurre. 

Ejemplo: Si el evento B es la lluvia, y si el evento A es que hay nubes y A* es que no hay nubes en el cielo, luego la probabilidad que llueva es la suma de las probabilidades conjuntas de (lluvia, cielo con nubes) más lluvia (cielo sin nubes).