Eventos Correlacionados y Probabilidades Condicionadas

Los eventos son correlacionados si el resultado de uno depende del resultado del otro. Así, además, la probabilidad de uno estará condicionada por la ocurrencia del otro.

Ejemplo: Si tenemos un recipiente con una bola roja (R) y dos bolas verdes (V), la probabilidad de obtener una bola verde en el primer intento es de 2/3, mientras que la de obtener una bola roja es de 1/3.  Ahora, la pregunta es ¿cuál sería la probabilidad de obtener una bola verde en el segundo intento? Imaginemos que en el primer intento cogimos una bola verde y no la devolvimos al recipiente, entonces, nos quedaremos con: 1R y 1V. Así, en un segundo intento, la probabilidad de obtener una bola verde será de (1/2). Así, este resultado es CONDICIONADO al resultado obtenido en el primer intento. 

• Probabilidad condicionada: p(B|A), es la probabilidad de ocurrencia del evento B luego que ha ocurrido el evento A. El evento A es la condición sobre la cual se evalúa la probabilidad del evento B. 

• Probabilidad conjunta: Es la probabilidad que los eventos A y B (o más eventos) ocurran. La probabilidad conjunta es expresada como p(A y B) o más precisamente p(AB). Un ejemplo, sería la probabilidad de que se obtenga cara al lanzar la primera vez una moneda al aire y cara al lanzar la moneda por segunda vez.

• Regla general de la multiplicación  (Regla de Bayes): Si resultados A y B ocurren con probabilidad p(A) y p(B), la probabilidad conjunta de los eventos A y B es:

        p(AB) = p(B|A)p(A) = p(A|B)pB

Si los eventos A y B son independientes, entonces la pre condición A no tiene influencia sobre el evento B , así p(B|A)=pB y la ecuación anterior queda reducida a p(AB)=pBpA, lo que es igual a la regla de la multiplicación pero para eventos independientes. La regla de la multiplicación es general ya que no es necesaria la independencia de los eventos. 

• Regla general de la adición: Esta regla nos permite encontrar la probabilidad ocurrencia del evento A o del evento B o de ambos. La regla general de la adición, consiste en tomar la probabilidad de A y sumarla a la probabilidad de B para luego sustraer el evento conjunto de A y B de este total, porque el evento conjunto ya se incluyó tanto en el cálculo de la probabilidad de A y en la probabilidad de B, es decir, p(A È B)= p(A) + p(B) - p(A Ç B).

• Grado de correlación: El grado de correlación, g, entre los eventos A y B pueden ser expresados como la razón de la probabilidad condicional de B, dado A, dividido por la probabilidad de B.

Si g=1, los eventos A y B son independientes y no se correlacionan entre sí. Si g mayor que 1 los eventos A y B son correlacionados positivamente. Si menor que 1, los eventos A y B son negativamente correlacionados. Entonces, si g=0 y A ocurre, B no ocurre.

• Regla para la adición de probabilidades conjuntas:  esta regla es útil para calcular la probabilidad de p(B) si se conoce la probabilidad conjunta o la probabilidad condicional:

donde A* significa que el evento A no ocurre. 

Ejemplo: Si el evento B es la lluvia, y si el evento A es que hay nubes y A* es que no hay nubes en el cielo, luego la probabilidad que llueva es la suma de las probabilidades conjuntas de (lluvia, cielo con nubes) más lluvia (cielo sin nubes).

Reglas de Probabilidad

Simples reglas de adición y multiplicación, nos ayudarán a calcular las probabilidades de ciertas combinaciones de eventos.

• Reglas de la adición: Si los resultados A, B, ..., E, son mutuamente excluyentes, y ocurren con probabilidades pA=nA/N, pB=nB/N, ..., pE=nE/N, luego, la posibilidad de observar A o B o... o E (la unión de los resultados, expresados como A È B È...È E) es la suma de las probabilidades:

• Reglas de la multiplicación: Si los resultados A, B, ..., E son independientes, luego la probabilidad de observar A y B y... y E (la intersección de los resultados expresada como A Ç B Ç ... Ç E) es el producto de las probabilidades,

A continuación les dejo algunos ejemplos para entender de una manera más didáctica estos conceptos.

Ejemplo 1: Lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad que 1 o 4 aparezcan en una de las caras, luego del lanzamiento?

Respuesta: la probabilidad de 1 es 1/6, al igual que la probabilidad de que el número que nos dé sea 4. Así, siguiendo la regla de la adición, la probabilidad que nos de 1 o 4 con un lanzamiento es 1/6+ 1/6 =1/3. El uso a la regla de la adición se debe a que los resultados son mutuamente excluyentes, es decir, si sale 1 no saldrá 4 y viceversa. 

Ojo con la pregunta, que es de tipo "o"... o 1 o 4... este simple dato nos ayudará a discriminar si se trata de la regla de la adición o de la multiplicación. 

Ejemplo 2:  Lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos un 1 en el primer lanzamiento y un 4 en el segundo?

Respuesta: Esta es (1/6)(1/6)=1/36. La razón de escoger la ley de la multiplicación, es que ambos eventos son independientes y además, utilizamos el "y" en la pregunta. 

Ejemplo 3:  Una secuencia de lanzamientos de una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos 5 caras en cinco lanzamientos consecutivos? 

Respuesta:  Esto es (1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)=1/32. El uso de la regla de la multiplicación se debe a que los eventos son independientes uno del otro y la probabilidad de que obtengamos cara en cada uno de los lanzamientos es 1/2. 

En término de multiplicidad de resultados, hay dos posibles resultados en cada lanzamiento, una cara y un sello, o que da un producto de 32 posibles resultados (W=32) y sólo uno de ellos es de cinco caras consecutivas. 

Ejemplo 4: Combinando eventos (ambos, uno o el otro, o ni uno ni el otro). Si los eventos A y B son eventos independientes , A y B tendrán probabilidades pA y pB, así, la probabilidad de que ambos ocurran será pApB. ¿Cuál es la probabilidad que ocurra A y que B NO ocurra? 

Respuesta: La probabilidad que B no ocurra es (1- pB). Si A y B son eventos independientes, la probabilidad que A ocurra "y" B no es pA(1-pB)= pA-pApB. 
Ahora, ¿cuál sería la probabilidad que ni A ni B ocurran? 
La respuesta sería: (1-pA)(1-pB)

Probabilidad

¿Qué debemos entender por probabilidad?

Si N es el número total de posibles resultados, y el resultado n cae en la categoría A, nA, entonces la probabilidad del resultado A, pA, es:

Las probabilidades son cantidades en el rango de 0 a 1. Si sólo un resultado es posible, entonces se dice que el proceso es determinista, por lo que sabemos a priori que el resultado tendrá una probabilidad de 1. Al contrario, si el resultado nunca ocurre, éste tendrá una probabilidad de cero.  

Las probabilidades pueden ser calculadas gracias a diferentes combinaciones de eventos. Consideremos un dado con seis caras. La probabilidad que un 4 aparezca en una de las caras es 1/6, ya que N=6 y sólo tiene un 4 en sus seis caras. Además, si lanzamos el dado 3 veces, nos podemos preguntar cuál es la probabilidad de obtener una secuencia donde obtengamos dos veces 4, seguido de un 6, o sea, 4-4-6. O también nos podríamos preguntar cuál sería la probabilidad de obtener dos veces 2 y luego un 5, sin que nos importe el orden de la secuencia, por ejemplo, 2-2-5 o 5-2-2 o 2-5-2. Así, se vuelve necesario aprender a calcular las probabilidades de ciertas combinaciones de eventos. Antes de esto, sin embargo, es necesario manejar algunas relaciones ENTRE eventos.

• Eventos mutuamente excluyentes: Los resultados A1, A2,..., At son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia de todos los demás. Si A y B son mutuamente excluyentes, si A ocurre, B no ocurrirá y viceversa. Ejemplo, en un dado, sus números son mutuamente excluyentes ya que si lanzas una vez y sale, por ejemplo, 6, ya no podrá salir ningún otro número.

• Eventos colectivamente exhaustivos: Los resultados A1, A2,..., At son colectivamente exhaustivos si ellos constituyen todos los resultados posibles. Por ejemplo, cara y sello de una moneda, es un grupo de resultados colectivamente exhaustivos para el lanzamiento de una moneda, ya que no hay otras opciones posibles (por supuesto, no contamos la posibilidad de que la moneda caiga de canto).

• Eventos independientes: Los eventos A1, A2,..., At son independientes si el resultado de cada uno de ellos no se relaciona o no se correlaciona con los demás resultados. Así, si tiramos un dado más de una vez, el que nos salga 5, no impedirá que en la segunda vez salga 5 o cualquier otro número, y así... 

• Multiplicidad:  La multiplicidad de eventos se refiere al total de caminos en los cuales diferentes resultados pueden ocurrir. Si el número de posibles resultados de tipo A es nA, el número de posibles resultados de tipo B es nB y el número de posibles resultados de tipo C es nC, entonces el número de posibles combinaciones de resultados es la multiplicidad W: